ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} x^2 + |x^2 - 2x| = y^2 + |y^2 - 2y|, \\ x + y = a \end{cases}$$

имеет более двух решений.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых модуль разности корней уравнения

$$x^2 - 6x + 12 + a^2 - 4a = 0$$

принимает наибольшее возможное значение.

Найдите все значения параметра $b$, при каждом из которых уравнение

$$x^3 + 2x^2 - x \log_2(b - 1) + 4 = 0$$

имеет единственное решение на отрезке $[-1; 2]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество значений функции

$$y=\dfrac{3x+3-2ax}{x^{2}+2(2a+1)x+4a^{2}+4a+2}$$

содержит отрезок $[0;1]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество решений неравенства

$$\dfrac{a-(a^{2}-2a+0{,}5)\cos x+4}{(\sin x)^{2}+a^{2}+1}<1$$

содержит отрезок $\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x + 2a)^2 + (y + 3a + 1)^2 = a + 1, \\ 3x - 4y = a - 1 \end{cases}$$

имеет более одного решения.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x - 2a + 3)^2 + (y - a)^2 = 2{,}25, \\ (x + 3)^2 + (y - a)^2 = a^2 + 2a + 1 \end{cases}$$

имеет единственное решение.

Про некоторый набор, состоящий из 15 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 2015?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 24?

в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?

Из 40 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, ..., 79 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ — четвёртое по величине среди этих чисел, а $B$ — среднее арифметическое выбранных семи чисел.

а) Может ли $B - A$ равняться $\dfrac{2}{3}$?

б) Может ли $B - A$ равняться $\dfrac{3}{7}$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $B - A$.