3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
54 задания
из 3 021В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^\circ$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.
а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите $\sin\angle BMC$, если известно, что отрезок $BM$ в $2{,}5$ раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH$. Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.
а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.
б) Найдите $MK$, если $AB=5$, $AC=8$.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=7$, $BC=24$, $CD=15$, $AD=20$ и $AC=25$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC=5$, $AD=4$.
В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.
а) Докажите, что $\angle BAM=\angle CAD$.
б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB=\sqrt{10}$, а $BC=2BM$.
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC=12$.
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. На катете $AC$ взята точка $M$. Окружность с центром $O$ и диаметром $CM$ касается гипотенузы $CK$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямые $MN$ и $BO$ параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $BOMN$, если $CN=4$ и $AM:MC=1:3$.
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Показано 20