ЕГЭ по профильной математике

Дана трапеция. Сумма оснований равна $13$, диагонали $5$ и $12$.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Дана равнобедренная трапеция, в которой $AD=3BC$, $CM$ — высота трапеции.

а) Докажите, что $M$ делит $AD$ в отношении $2:1$.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до середины $BD$, если $AD=18$, $AC=4\sqrt{13}$.

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.

а) Докажите, что $\angle BAM=\angle CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB=\sqrt{10}$, а $BC=2BM$.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.

а) Докажите, что $AM=DM$.

б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ и острым углом при вершине $D$ вписана окружность с центром $O$. Прямая $DO$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$, а прямая $CO$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$.

а) Докажите, что $\angle AMO=\angle DKO$.

б) Найдите площадь трапеции $AOM$, если $BC=10$ и $AD=15$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла. В треугольники $ACH$ и $BCH$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, касающиеся прямой $CH$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $AO_1$ и $CO_2$ перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$, если $AC=12$ и $BC=5$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$(5x - 2) \cdot \ln(x + a) = (5x - 2) \cdot \ln(2x - a)$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\ln(6a - x) \ln(2x + 2a - 2) = \ln(6a - x) \ln(x - a)$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^2 + (x - 1) \cdot \sqrt{3x - a} = x$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.