ЕГЭ по профильной математике

Дана трапеция. Сумма оснований равна $13$, диагонали $5$ и $12$.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AM$. Прямая, проходящая через вершину $B$ перпендикулярно $AM$, пересекает сторону $CB$ в точке $N$; $AB=6$, $BC=5$, $AC=9$.

а) Докажите, что биссектриса угла $C$ делит отрезок $MN$ пополам.

б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Найдите отношение $AP:PN$.

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle AHB_1=\angle ACB$.

б) Найдите $BC$, если $AH=8\sqrt{3}$ и $\angle BAC=60^\circ$.

В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $4$, касающаяся стороны $AC$ в точке $M$, причём $AM=8$ и $CM=12$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$.

В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся стороны $AC$ в точке $M$, причём $AM=5R$ и $CM=1{,}5R$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что $R=4$.

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Окружность с центром $O$, построенная на боковой стороне $AB$ как на диаметре, касается боковой стороны $CD$ и второй раз пересекает большее основание $AD$ в точке $H$, точка $Q$ — середина $CD$.

а) Докажите, что четырёхугольник $DQOH$ — параллелограмм.

б) Найдите $AD$, если $\angle BAD=60^\circ$ и $BC=2$.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB=3$, $BC=CD=5$, $AD=8$, $AC=7$.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите $BD$.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=7$, $BC=24$, $CD=15$, $AD=20$ и $AC=25$.

а) Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ вписанный.

б) Найдите косинус угла между его диагоналями.

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC=5$, $AD=4$.