ЕГЭ по профильной математике

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle AHB_1=\angle ACB$.

б) Найдите $BC$, если $AH=8\sqrt{3}$ и $\angle BAC=60^\circ$.

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle BB_1C_1=\angle BAH$.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1=10\sqrt{3}$ и $\angle BAC=60^\circ$.

Биссектриса угла $ABC$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся сторон $AE$ и $DE$ в точках $K$ и $T$.

а) Докажите, что $KT\parallel DE$.

б) Найдите угол $BAD$, если сторона $AD=6$ и $KT=3$.

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные $3$ и $2$. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.