ЕГЭ по профильной математике

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH$. Из точки $H$ на стороны $AB$ и $BC$ опустили перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$.

б) Найдите отношение площади треугольника $MBK$ к площади четырёхугольника $AKMC$, если $BH=3$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $4$.

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle BB_1C_1=\angle BAH$.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1=10\sqrt{3}$ и $\angle BAC=60^\circ$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$a|x - 3| = \dfrac{5}{x + 2}$$

на промежутке $[0; +\infty)$ имеет ровно два корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\left| \dfrac{6}{x} - 5 \right| = ax - 1$$

на промежутке $[0; +\infty)$ имеет более двух корней.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$$(ax^2 - 2x)^2 + (a^2 - a + 2)(ax^2 - 2x) - a^2(a - 2) = 0$$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$$((a - 1)x^2 + 3x)^2 - 2((a - 1)x^2 + 3x) + 1 - a^2 = 0$$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$(|x - 9| - |x - a|)^2 - 9a(|x - 9| - |x - a|) + 8a^2 + 28a - 16 = 0$$

имеет ровно два решения.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.