ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$, точки $K$ и $M$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $B$ на прямые $AA_1$ и $CC_1$.

а) Докажите, что $MK\parallel AC$.

б) Найдите площадь треугольника $KBM$, если $AC=10$, $BC=6$, $AB=8$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ проведена биссектриса $AK$. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что сторона $MN$ лежит на отрезке $AC$, а вершина $L$ — на отрезке $AB$.

а) Докажите, что $MN=\sqrt{2}KN$.

б) Найдите площадь прямоугольника $KLMN$, если $AB=1$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом $120^\circ$ при вершине $A$ проведена биссектриса $BD$. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $DEFH$ так, что сторона $HF$ лежит на отрезке $BC$, а вершина $E$ — на отрезке $AB$.

а) Докажите, что $FH=2DH$.

б) Найдите площадь прямоугольника $DEFH$, если $AB=2$.

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность, $CH$ — высота трапеции.

а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке $BH$.

б) Найдите диагональ $AC$, если средняя линия трапеции равна $2\sqrt{7}$, а $\angle AOD=120^\circ$, где $O$ — центр окружности, вписанной в трапецию, а $AD$ — большее основание.

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle BB_1C_1=\angle BAH$.

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1=10\sqrt{3}$ и $\angle BAC=60^\circ$.

Биссектриса угла $ABC$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся сторон $AE$ и $DE$ в точках $K$ и $T$.

а) Докажите, что $KT\parallel DE$.

б) Найдите угол $BAD$, если сторона $AD=6$ и $KT=3$.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC=60^\circ$, $\angle ABC=45^\circ$. Продолжения высот треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $M$, $N$, $P$.

а) Докажите, что треугольник $MNP$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $MNP$, если известно, что $BC=6$.