ЕГЭ по профильной математике

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ проведена биссектриса $AK$. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что сторона $MN$ лежит на отрезке $AC$, а вершина $L$ — на отрезке $AB$.

а) Докажите, что $MN=\sqrt{2}KN$.

б) Найдите площадь прямоугольника $KLMN$, если $AB=1$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом $120^\circ$ при вершине $A$ проведена биссектриса $BD$. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $DEFH$ так, что сторона $HF$ лежит на отрезке $BC$, а вершина $E$ — на отрезке $AB$.

а) Докажите, что $FH=2DH$.

б) Найдите площадь прямоугольника $DEFH$, если $AB=2$.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых любой корень уравнения

$$3\sqrt[5]{6{,}2x - 5{,}2} + 4\log_5(4x + 1) + 5a = 0$$

принадлежит отрезку $[1; 6]$.

Целое число $S$ является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли $S$ равняться 8?

б) Может ли $S$ равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать $S$.