3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
10 заданий
из 3 021В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$, точки $K$ и $M$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $B$ на прямые $AA_1$ и $CC_1$.
а) Докажите, что $MK\parallel AC$.
б) Найдите площадь треугольника $KBM$, если $AC=10$, $BC=6$, $AB=8$.
В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность, $CH$ — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке $BH$.
б) Найдите диагональ $AC$, если средняя линия трапеции равна $2\sqrt{7}$, а $\angle AOD=120^\circ$, где $O$ — центр окружности, вписанной в трапецию, а $AD$ — большее основание.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$27x^6 + (4a - 2x)^3 + 6x^2 + 8a = 4x$$
не имеет корней.
Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение
$$x^{10} + (a - 2|x|)^5 + x^2 - 2|x| + a = 0$$
имеет более трёх различных решений.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$a^2 - 5a + 5\sqrt{2x^2 + 25} = 3|x - 5a| - 6|x|$$
имеет хотя бы один корень.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых множество значений функции
$$y = \dfrac{\sqrt{a + 1} - 2\cos 3x + 1}{\sin^2 3x + a + 2\sqrt{a + 1} + 2}$$
содержит отрезок $[2; 3]$.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор $-8, -5, -4, -3, -1, 1, 4$. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Это все задания в выборке — 10.