Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{9x^2 - a^2}{x^2 + 8x + 16 - a^2} = 0$$
имеет ровно два различных корня.
Самопроверка
ЕГЭ по профильной математике
3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
9 заданий
из 3 021Выборка
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{x^2 - a(a - 1)x - a^3}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} = 0$$
имеет ровно два различных корня.
Самопроверка
Найдите все значения $a$, при которых уравнение
$$\dfrac{5a}{a - 3} \cdot 7^{|x|} = 49^{|x|} + \dfrac{6a + 7}{a - 3}$$
имеет ровно два различных корня.
Самопроверка
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$a^2 - 5a + 5\sqrt{2x^2 + 25} = 3|x - 5a| - 6|x|$$
имеет хотя бы один корень.
Самопроверка
Найдите все значения $a$, при которых уравнение
$$|\sin^2 x + 2\cos x + a| = \sin^2 x + \cos x - a$$
имеет на промежутке $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]$ единственный корень.
Самопроверка
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Самопроверка
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Самопроверка
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ удовлетворяют условию $a > b > c > d$.
а) Найдите числа $a$, $b$, $c$ и $d$, если $a + b + c + d = 16$ и $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 32$.
б) Может ли быть $a + b + c + d = 29$ и $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 29$?
в) Пусть $a + b + c + d = 1400$ и $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 1400$. Найдите количество возможных значений числа $a$.
Самопроверка
Каждое из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{350}$ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
$$S_1 = a_1 + a_2 + \dots + a_{350},$$ $$S_2 = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{350}^2,$$ $$S_3 = a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_{350}^3,$$ $$S_4 = a_1^4 + a_2^4 + \dots + a_{350}^4.$$Известно, что $S_1 = 569$.
а) Найдите $S_4$, если ещё известно, что $S_2 = 1307$, $S_3 = 3953$.
б) Может ли $S_4 = 48577$?
в) Пусть $S_4 = 4785$. Найдите все значения, которые может принимать $S_2$.
Самопроверка
Это все задания в выборке — 9.