ЕГЭ по профильной математике

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH$. Из точки $H$ на стороны $AB$ и $BC$ опустили перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$.

б) Найдите отношение площади треугольника $MBK$ к площади четырёхугольника $AKMC$, если $BH=3$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $4$.

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что $\angle AHB_1=\angle ACB$.

б) Найдите $BC$, если $AH=8\sqrt{3}$ и $\angle BAC=60^\circ$.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых имеет хотя бы один корень уравнение $\cos^{18}x + (5\cos x - a)^9 + \cos^5 x + 5\cos x = a$.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$$((a - 1)x^2 + 3x)^2 - 2((a - 1)x^2 + 3x) + 1 - a^2 = 0$$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$|x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1|$$

имеет более двух различных корней.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$$\dfrac{5a}{a - 3} \cdot 7^{|x|} = 49^{|x|} + \dfrac{6a + 7}{a - 3}$$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$$(|x + 1| + |x - a|)^2 - 2(|x + 1| + |x - a|) + 4a(1 - a) = 0$$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$(|x - 9| - |x - a|)^2 - 9a(|x - 9| - |x - a|) + 8a^2 + 28a - 16 = 0$$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$$(\operatorname{tg} x + 6)^2 - (a^2 + 2a + 8)(\operatorname{tg} x + 6) + a^2(2a + 8) = 0$$

имеет на отрезке $\left[0; \dfrac{3\pi}{2}\right]$ ровно два решения.