ЕГЭ по профильной математике

3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.

20 заданий

из 3 021

Выборка

Задание 18#30Не решено

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC=12$.

Ответ

Задание 18#33Не решено

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.

а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$.

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

Ответ

Задание 18#59Не решено

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон $AB$ и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\frac{AP}{PD}=\sin D$.

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Самопроверка

Задание 19#56Не решено