ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}\dfrac{xy^{2}-2xy-4y+8}{\sqrt{4-y}}=0,\\y=ax\end{cases}$$

имеет ровно три различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} a(x^4 + 1) = y + 2 - |x|, \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$$

имеет единственное решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых функция

$$f(x) = x^2 - 3|x - a| - 5x$$

имеет более двух точек экстремума.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых функция

$$f(x) = x^2 - 4|x - a^2| - 8x$$

имеет хотя бы одну точку максимума.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x^4 - x^2 + a^2} = x^2 + a - a$$

имеет ровно три различных корня.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.