3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
25 заданий
из 3 021В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^\circ$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.
а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите $\sin\angle BMC$, если известно, что отрезок $BM$ в $2{,}5$ раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=7$, $BC=24$, $CD=15$, $AD=20$ и $AC=25$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC=5$, $AD=4$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.
б) Найдите отношение $EH$ к $AC$, если $\angle ABC=30^\circ$.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{x^3 + x^2 - 9a^2 x - 2x + a}{x^3 - 9a^2 x} = 1$$
имеет ровно один корень.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases}\dfrac{xy^{2}-2xy-4y+8}{\sqrt{4-y}}=0,\\y=ax\end{cases}$$
имеет ровно три различных решения.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} x(x^2 + y^2 - y - 2) = |x|(y - 2), \\ y = x + a \end{cases}$$
имеет ровно три различных решения.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} x(x^2 + y^2 + y - x - 2) = |x|(x^2 + y^2 - y + x), \\ y = a(x + 2) \end{cases}$$
имеет ровно три различных решения.
Показано 20