3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
6 заданий
из 3 021Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Окружность с центром $O$, построенная на боковой стороне $AB$ как на диаметре, касается боковой стороны $CD$ и второй раз пересекает большее основание $AD$ в точке $H$, точка $Q$ — середина $CD$.
а) Докажите, что четырёхугольник $DQOH$ — параллелограмм.
б) Найдите $AD$, если $\angle BAD=67{,}5^\circ$ и $BC=3$.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} (y^2 - xy - 9y + 5x + 20)\sqrt{x + 5} = 0, \\ a = x + y \end{cases}$$
имеет единственное решение.
Каждое из чисел $1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11$ по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел $1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11$. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию ($n \geqslant 3$).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна 111.
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могли ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Это все задания в выборке — 6.