ЕГЭ по профильной математике

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.

а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.

В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $4$, касающаяся стороны $AC$ в точке $M$, причём $AM=8$ и $CM=12$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$.

В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся стороны $AC$ в точке $M$, причём $AM=5R$ и $CM=1{,}5R$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что $R=4$.