ЕГЭ по профильной математике

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.

а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.

Дан треугольник $ABC$. Срединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекается с биссектрисой угла $BAC$ в точке $K$, лежащей на стороне $BC$.

а) Докажите, что $AC^2=BC\cdot CK$.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $AKC$, если $\sin B=0{,}6$ и сторона $AC=24$.

Вершины $K$ и $L$ квадрата $KLMN$ с центром $O$ лежат на стороне $AB$ треугольника $ABC$, а вершины $M$ и $N$ — на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно. Высота $CH$ треугольника $ABC$ проходит через точку $O$ и пересекает отрезок $MN$ в точке $D$, причём $CD=DO=OH$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный и прямоугольный.

б) Пусть прямая $AD$ пересекает сторону $BC$ в точке $Q$. Найдите $AQ$, если сторона квадрата $KL=2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} |x^2 - x - 6| = (y - 1)^2 + x - 7, \\ 3y = 2x + a \end{cases}$$

имеет ровно один или два корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$(x^2 + x + 2a^2 + 1)^2 = 8a^2(x^2 + x + 1)$$

имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\log_{8a - 3{,}5}(4x^2 + 8) = \log_{8a - 3{,}5}(4(a - 3)x + 9)$$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых множество решений неравенства

$$1 \leqslant \dfrac{a + x^2 + 2\log_5(a^2 - 4a + 5)}{30\sqrt{17}x^4 + 5x^2 + a + 1 + \log_5(a^2 - 4a + 5)}$$

состоит из одной точки, найдите это решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sin\sqrt{\pi ax-x^{2}}+\cos 2\sqrt{\pi ax-x^{2}}=0$$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} 3x - 2y + z = 2x^2 + y^2, \\ -x + y + 3z = a \end{cases}$$

имеет единственное решение.