ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AM$. Прямая, проходящая через вершину $B$ перпендикулярно $AM$, пересекает сторону $CB$ в точке $N$; $AB=6$, $BC=5$, $AC=9$.

а) Докажите, что биссектриса угла $C$ делит отрезок $MN$ пополам.

б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Найдите отношение $AP:PN$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение

$$\left(x + \dfrac{1}{x - a}\right)^2 - (a + 9)\left(x + \dfrac{1}{x - a}\right) + 2a(9 - a) = 0$$

имеет ровно 4 решения.

Про некоторый набор, состоящий из 11 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 3000?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 16?

в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?

а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.