3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
6 заданий
из 3 021В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$.
а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$$\begin{cases} 2a \leqslant x, \\ 6x > a^2 + a^2, \\ x + a \leqslant 6 \end{cases}$$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$$\begin{cases} a(x - 1) \geqslant 4, \\ 2\sqrt{x - 2} \geqslant a, \\ 3x < a + 14 \end{cases}$$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} (y^2 - xy + x - y)\sqrt{x + 4} = 0, \\ a = x + y. \end{cases}$$
имеет ровно два различных решения.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.
а) Может ли на доске быть 6 чисел?
б) Может ли на доске быть 5 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Это все задания в выборке — 6.