ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ проведены две высоты $BH$ и $CN$, причём $AM:CM=2:3$ и $\cos\angle BAC=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

а) Докажите, что угол $ABC$ тупой.

б) Найдите отношение площадей треугольников $BMN$ и $ABC$.

Найдите все значения параметра $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4(x + y)\sin\alpha + 8\sin^2\alpha = 2\sin\alpha - 1, \\ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 2\sin\alpha + 4\sin^2\alpha \end{cases}$$

имеет единственное решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^3 + 2x^2 - ax + 4 = 0$$

имеет единственный корень на отрезке $[-1; 2]$.

Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение

$$4^x + (a - 6)2^x = (2 + 3|a|)2^x + (a - 6)(3|a| + 2)$$

имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x + 2a)^2 + (y + 3a + 1)^2 = a + 1, \\ 3x - 4y = a - 1 \end{cases}$$

имеет более одного решения.

Найдите все неотрицательные значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \sqrt{(x + a)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y - a)^2} = \sqrt{4 + a^2}, \\ 5y = |6 - a^2| \end{cases}$$

имеет единственное решение.