3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
71 задание
из 3 021Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.
В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$ и $AC=2\sqrt{61}$.
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC=12$.
В треугольнике $ABC$ все стороны различны. Прямая, содержащая высоту $BH$ треугольника $ABC$, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $K$. Отрезок $BN$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $AC\parallel KN$.
б) Найдите $DF$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $12$, $\angle BAC=35^\circ$, $\angle ACB=65^\circ$.
В треугольнике $ABC$ все стороны различны. Прямая, содержащая высоту $BH$ треугольника $ABC$, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $K$. Отрезок $BN$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $AC\parallel KN$.
б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AC$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ равен $6\sqrt{6}$, $\angle BAC=30^\circ$, $\angle ABC=105^\circ$.
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. На катете $AC$ взята точка $M$. Окружность с центром $O$ и диаметром $CM$ касается гипотенузы $CK$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямые $MN$ и $BO$ параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника $BOMN$, если $CN=4$ и $AM:MC=1:3$.
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC=60^\circ$, $\angle ABC=45^\circ$. Продолжения высот треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $M$, $N$, $P$.
а) Докажите, что треугольник $MNP$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $MNP$, если известно, что $BC=6$.
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Показано 20