ЕГЭ по профильной математике

Дана трапеция. Сумма оснований равна $13$, диагонали $5$ и $12$.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ углы $ABD$ и $ACD$ прямые.

а) Докажите, что $AB=CD$.

б) Найдите $AD$, если $AB=2$, $BC=7$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.

а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AM$. Прямая, проходящая через вершину $B$ перпендикулярно $AM$, пересекает сторону $CB$ в точке $N$; $AB=6$, $BC=5$, $AC=9$.

а) Докажите, что биссектриса угла $C$ делит отрезок $MN$ пополам.

б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Найдите отношение $AP:PN$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$.

а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$ и $AC=2\sqrt{61}$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.

а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$.

Дана равнобедренная трапеция, в которой $AD=3BC$, $CM$ — высота трапеции.

а) Докажите, что $M$ делит $AD$ в отношении $2:1$.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до середины $BD$, если $AD=18$, $AC=4\sqrt{13}$.

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $O$, величина угла $AOC$ составляет $120^\circ$.

а) Докажите, что около четырёхугольника $BDOE$ можно описать окружность.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC=4$, а $\angle BED=75^\circ$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CQ$.

а) Докажите, что угол $PAC$ равен углу $PQC$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если известно, что $PQ=8$ и $\angle ABC=60^\circ$.