ЕГЭ по профильной математике

Вершины $K$ и $L$ квадрата $KLMN$ с центром $O$ лежат на стороне $AB$ треугольника $ABC$, а вершины $M$ и $N$ — на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно. Высота $CH$ треугольника $ABC$ проходит через точку $O$ и пересекает отрезок $MN$ в точке $D$, причём $CD=DO=OH$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный и прямоугольный.

б) Пусть прямая $AD$ пересекает сторону $BC$ в точке $Q$. Найдите $AQ$, если сторона квадрата $KL=2$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Биссектриса внутреннего угла при вершине $B$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $C$ в точке $M$, а биссектриса внутреннего угла при вершине $C$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $B$ в точке $N$.

а) Докажите, что $\angle CNM=\angle ABC$.

б) Найдите $CN$, если $AB=AC=13$, $BC=10$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4ax + 6a - a^2 = 0$$

имеет не менее трёх корней.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$(x^2 + x + 2a^2 + 1)^2 = 8a^2(x^2 + x + 1)$$

имеет ровно один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых модуль разности корней уравнения

$$x^2 - 6x + 12 + a^2 - 4a = 0$$

принимает наибольшее возможное значение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$|x - a^2 + a + 2| + |x - a^2 + 3a - 1| = 2a - 3$$

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4; 19)$.

Найдите все значения $k$, при каждом из которых уравнение

$$\dfrac{6k - (2 - 3k)\cos t}{\sin t - \cos t} = 2$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\log_{8a - 3{,}5}(4x^2 + 8) = \log_{8a - 3{,}5}(4(a - 3)x + 9)$$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых множество решений неравенства

$$1 \leqslant \dfrac{a + x^2 + 2\log_5(a^2 - 4a + 5)}{30\sqrt{17}x^4 + 5x^2 + a + 1 + \log_5(a^2 - 4a + 5)}$$

состоит из одной точки, найдите это решение.