3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
21 задание
из 3 021Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.
Дан треугольник $ABC$. Срединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекается с биссектрисой угла $BAC$ в точке $K$, лежащей на стороне $BC$.
а) Докажите, что $AC^2=BC\cdot CK$.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $AKC$, если $\sin B=0{,}6$ и сторона $AC=24$.
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Биссектриса внутреннего угла при вершине $B$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $C$ в точке $M$, а биссектриса внутреннего угла при вершине $C$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $B$ в точке $N$.
а) Докажите, что $\angle CNM=\angle ABC$.
б) Найдите $CN$, если $AB=AC=13$, $BC=10$.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4ax + 6a - a^2 = 0$$
имеет не менее трёх корней.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система
$$\begin{cases} |x^2 - x - 6| = (y - 1)^2 + x - 7, \\ 3y = 2x + a \end{cases}$$
имеет ровно один или два корня.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система
$$\begin{cases} |2x^2 + y^2 - 1| + y^2 + 4y = 0, \\ y = 0{,}5x + a \end{cases}$$
имеет два или три корня.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$27x^6 + (4a - 2x)^3 + 6x^2 + 8a = 4x$$
не имеет корней.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$(x^2 + x + 2a^2 + 1)^2 = 8a^2(x^2 + x + 1)$$
имеет ровно один корень.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
$$x^2 - 6x + 12 + a^2 - 4a = 0$$
принимает наибольшее возможное значение.
Показано 20