ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} |x^2 - x - 6| = (y - 1)^2 + x - 7, \\ 3y = 2x + a \end{cases}$$

имеет ровно один или два корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$(x^2 + x + 2a^2 + 1)^2 = 8a^2(x^2 + x + 1)$$

имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\log_{8a - 3{,}5}(4x^2 + 8) = \log_{8a - 3{,}5}(4(a - 3)x + 9)$$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых множество решений неравенства

$$1 \leqslant \dfrac{a + x^2 + 2\log_5(a^2 - 4a + 5)}{30\sqrt{17}x^4 + 5x^2 + a + 1 + \log_5(a^2 - 4a + 5)}$$

состоит из одной точки, найдите это решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (ay + ax + 3)(y + x - a) = 0, \\ |xy| = a \end{cases}$$

имеет ровно шесть решений.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.