ЕГЭ по профильной математике

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ углы $ABD$ и $ACD$ прямые.

а) Докажите, что $AB=CD$.

б) Найдите $AD$, если $AB=2$, $BC=7$.

Боковые стороны $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ вдвое больше основания $BC$. На боковых сторонах $AB$ и $AC$ отмечены отрезки $AP$ и $AQ$ соответственно, равные четверти этой стороны.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, делится прямой $PQ$ в отношении $1:3$.

б) Найдите длину отрезка прямой $PQ$, заключённого внутри вписанной окружности треугольника $ABC$, если $BC=4\sqrt{19}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}x(x^{2}+y^{2}-2y-8)=|x|(2y-8),\\y=x+a\end{cases}$$

имеет ровно три различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x + 2a - 1} + \sqrt{x - a} = 1$$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0, \\ x^2 + y = xy + x \end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} x^4 - y^4 = 12a - 28, \\ x^2 + y^2 = a \end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x + ay - 5)(x + ay - 5a) = 0, \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x - (2a + 2))^2 + (y - a)^2 = 1, \\ y^2 = x^2 \end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4(a + 1)x - 2ay + 5a^2 + 8a + 3 = 0, \\ y^2 = x^2 \end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.