ЕГЭ по профильной математике

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$\dfrac{x^{2}-6x+a^{2}-4a}{x^{2}-a^{2}}=0$$

имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \log_3(a - x^2) = \log_3(a - y^2), \\ x^2 + y^2 = 4x + 6y \end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \log_5(16 - y^2) = \log_5(16 - a^2 x^2), \\ x^2 + y^2 = 6x + 4y \end{cases}$$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система

$$\begin{cases} \sqrt{4 - y^2} = \sqrt{4 - 4x^2}, \\ xy + a^2 = ax + ay. \end{cases}$$

имеет ровно 2 решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \sqrt{36 - y^2} = \sqrt{36 - a^2 x^2}, \\ x^2 - 4x = 6y - y^2. \end{cases}$$

имеет два различных решения.

Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых система

$$\begin{cases} \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{2ay - a^2 y^2}, \\ y = x^2. \end{cases}$$

имеет ровно 3 решения.

Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 1 и 6, либо только одну из этих цифр.

а) Может ли сумма всех чисел быть равной 173?

б) Может ли сумма всех чисел быть равной 109?

в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 1021?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а) Может ли их сумма составлять 282?

б) Может ли их сумма составлять 390?

в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 12 единиц, то можно получить сумму 147: $1+11+11+11+11+1=147$.

а) Можно ли получить сумму 150, если $n=60$?

б) Можно ли получить сумму 150, если $n=80$?

в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму 150?