ЕГЭ по профильной математике

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ — середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ — высота.

а) Докажите, что прямые $MN$ и $NH$ перпендикулярны.

б) Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MN$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH=12$ и $BH=3$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^{2}+(x-1)\cdot\sqrt{2x-a}=x$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (xy^2 - xy - 6y + 6)\sqrt{y + 2} = 0, \\ y = ax. \end{cases}$$

имеет ровно три различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x - 2)(y + 2x - 4) = |x - 2|^3, \\ y = x + a \end{cases}$$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$(4x-x^{2})^{2}-32\sqrt{4x-x^{2}}=a^{2}-14a$$

имеет хотя бы один корень.

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.