ЕГЭ по профильной математике

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.

а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$.

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

В треугольнике $ABC$, в котором длина стороны $AC$ больше длины стороны $BC$, вписана окружность с центром $O$. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно $O$.

а) Докажите, что $A$, $B$, $O$ и $B_1$ лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника $ABOB_1$, если $AB=10$, $AC=8$ и $BC=6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\dfrac{x^2 - 10x + a^2}{\sqrt{(a - x + 8)(a + x - 3)}} = 0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[2; 6]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\dfrac{(x - a - 7)(x + a - 2)}{\sqrt{10x - x^2 - a^2}} = 0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[4; 8]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{3x^2 - (3a + 1)x + a}$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x\sqrt{x - a} = \sqrt{6x^2 - (6a + 3)x + 3a}$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (y^2 - xy + x - 3y + 2)\sqrt{x + 3} = 0, \\ a - x - y = 0. \end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трёхзначного числа?

В каждой клетке квадратной таблицы $6 \times 6$ стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?