ЕГЭ по профильной математике

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $5\sqrt{2}$, высота призмы равна $2\sqrt{14}$. Точка $K$ — середина ребра $BB_1$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$ параллельная прямой $BD_1$.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ стороны основания равны 16, боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через $A_1$, $B_1$ и середину ребра $BC$, является трапецией.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $BC$.

В треугольной пирамиде $SABC$ известны боковые рёбра: $SA = SB = 7$, $SC = 5$. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы $CM$ треугольника $ABC$. Эта высота равна 4.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды $SABC$.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с вершиной $S$ равны 12. Основание высоты $SO$ этой пирамиды является серединой отрезка $SS_1$, $M$ — середина ребра $AS$, точка $L$ лежит на ребре $BC$ так, что $BL:LC = 1:2$.

а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $S_1LM$ — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена секущая плоскость, содержащая диагональ $AC_1$ и пересекающая рёбра $BB_1$ и $DD_1$ в точках $F$ и $E$ соответственно.

а) Докажите, что сечение $AFC_1E$ — параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что $AFC_1E$ — ромб и $AB = 3$, $BC = 2$, $AA_1 = 5$.

Точка $E$ — середина ребра $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью $DEB_1$ является ромбом.

б) Найдите угол между прямыми $DE$ и $BD_1$.

Дан прямой круговой конус с вершиной $M$. Осевое сечение конуса — треугольник с углом $120^{\circ}$ при вершине $M$. Образующая конуса равна $2\sqrt{3}$. Через точку $M$ проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.

б) Найдите площадь сечения.

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB$ равна 3, а боковое ребро $AA_1$ равно $\sqrt{6}$. На рёбрах $AB$, $A_1D_1$ и $C_1D_1$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = A_1N = C_1K = 1$.

а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $BC$. Докажите, что $MNKL$ — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK$.