Вариант 11 из 36

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели биссектрису $AF$. Найдите угол $AFC$, если угол $ABC$ равен $76^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(-3;\,2)$ и $\vec{b}(-1;\,-9)$. Найдите длину вектора $3\vec{a}-2\vec{b}$.

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 102. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 250 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна 0,55. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится в обоих автоматах.

Известно, что случайная величина $Y$ подчиняется распределению

$$Y:\begin{pmatrix}0&2&4&8&16&32\\0{,}1&0{,}2&0{,}25&0{,}25&0{,}15&0{,}05\end{pmatrix}.$$

Найдите вероятность события $-2<Y<8$.

Найдите корень уравнения $\sqrt{15x}=1\dfrac{2}{3}x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите $\log_a\dfrac{a^4}{b^5}$, если $\log_a b=15$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-22;\,2)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-18;\,1]$.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 192 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 6 мг.

Катер, скорость которого в неподвижной воде равна 28 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт катер возвращается через 18 часов после отплытия из него. Сколько километров прошёл катер за весь рейс?

На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+bx+c$. Найдите $f(3)$.

В июле 2031 года Леонид планирует взять кредит в банке на 3 года в размере 1,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2032 и 2033 года долг должен быть на 30 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение $\sqrt{2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x-\sin x}=\sqrt{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

В пирамиде $SABCD$ с высотой $SA$ основанием является квадрат $ABCD$, точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.

а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит диагональ основания $AC$ в отношении $1:2$.

б) Найдите угол между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2\sqrt{3}$, $SA=6$.

Решите неравенство $\dfrac{9^x-3^{x+2}+8}{\log_{\frac{1}{6}}^2(5^x-2)+\log_{\frac{1}{6}}(5^x-2)^2+1}\leqslant 0$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\varepsilon)=2\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\pi}}\cdot\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{\varepsilon}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=450$ К?

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.

а) Докажите, что $BN=\left(\sqrt{2}-1\right)R$.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $BNOG$, если $R=6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}\left(|x|-a^2\right)^2+(y-4a)(y+4a)=9a^2-2y-1,\\y+1=6\sqrt{a}\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется $k$ кляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+2$ кляссеров и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком — больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли $k$ быть равно 3?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

\* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.