Задание 16 №13502 — ЕГЭ по профильной математике

Преобразуем знаменатель, используя переход к основанию 6:

$$\dfrac{9^x-9\cdot3^x+8}{\log_6^2(5^x-2)-2\log_6(5^x-2)+1}\leqslant0;\qquad \dfrac{9^x-9\cdot3^x+8}{(\log_6(5^x-2)-1)^2}\leqslant0.$$

При $5^x>2$ и $5^x-2\ne6$ знаменатель положителен. Поэтому $(3^x-1)(3^x-8)\leqslant0$, откуда $1\leqslant3^x\leqslant8$, то есть $x\in[0;\log_3 8]$.

Учитывая $x>\log_5 2$, $x\ne\log_5 8$ и соотношения $0<\log_5 2<1<\log_5 8<\log_3 8$, получаем $x\in(\log_5 2;\log_5 8)\cup(\log_5 8;\log_3 8]$.

Ответ: $(\log_5 2;\,\log_5 8)$; $(\log_5 8;\,\log_3 8]$