Задание 19 №13610 — ЕГЭ по профильной математике

Первое уравнение равносильно $(|x|-a^2)^2+(y+1)^2-25a^2=0$. Из второго $a\geqslant0$, $y+1=6\sqrt a$. Подставляем:

$$|x|^2-2a^2|x|+a^4-25a^2+36a=0.$$

Дискриминант квадратного уравнения относительно $|x|$ равен $4(25a^2-36a)$. При $25a^2-36a\geqslant0$ его корни:

$$t_1=a^2+\sqrt{25a^2-36a},\qquad t_2=a^2-\sqrt{25a^2-36a}.$$

Каждому положительному $t$ соответствуют два значения $x$, нулевому — одно, отрицательному — ни одного. Ровно два решения получаются, когда $t_1=t_2>0$ или $t_1>0>t_2$.

В первом случае $a=\dfrac{36}{25}$. Во втором, при $a>\dfrac{36}{25}$, условие $a^2<\sqrt{25a^2-36a}$ равносильно

$$a^4<25a^2-36a;\qquad a^3-25a+36<0;\qquad(a-4)(a^2+4a-9)<0.$$

С учётом ограничения получаем $\sqrt{13}-2<a<4$. Значит, искомые значения: $(\sqrt{13}-2;4)\cup\{1{,}44\}$.

Ответ: $(\sqrt{13}-2;\,4)\cup\{1{,}44\}$