а) Решите уравнение $\sqrt{2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x-\sin x}=\sqrt{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Решение
а) Используя $\sin^2x=1-\cos^2x$ и $\cos(\dfrac\pi2+x)=-\sin x$, запишем уравнение как
$$\sqrt{2\cos^3x+\cos^2x-2\cos x-\sin x-1}=\sqrt{-\sin x}.$$
При $\sin x\leqslant0$ оно равносильно $2\cos^3x+\cos^2x-2\cos x-1=0$, то есть $(\cos^2x-1)(2\cos x+1)=0$. Отсюда $\cos^2x=1$ или $\cos x=-\dfrac12$. С учётом $\sin x\leqslant0$ получаем $x=\pi k$, $k\in\mathbb Z$, или $x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.
б) На отрезке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}2\right]$ получаем $-4\pi$, $-3\pi$, $-3\pi+\dfrac\pi3=-\dfrac{8\pi}3$.
Замечание. Отбор корней можно выполнить с помощью графика или линейных неравенств.
Ответ: а) $\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$; б) $-4\pi,\ -3\pi,\ -\dfrac{8\pi}{3}$