Задание 20 №13646 — ЕГЭ по профильной математике

Обозначим количество монет буквой $S$.

а) При $k=3$ вместимость больших кляссеров даёт $445<S<475$, маленьких — $495<S<595$. Это несовместимо, поэтому $k\ne3$.

б) Аналогично $k\ne1$ и $k\ne2$: пришлось бы одновременно иметь $S>295$ и $S<155$, либо $S>395$ и $S<315$. При $k=4$ получаем $595<S<635$ и $595<S<715$, то есть $596\leqslant S\leqslant634$. Число $S+5$ должно делиться и на 4, и на 6. Наименьшее такое число в $[601;639]$ — 612. Поэтому $S=607$, большой кляссер содержит 153 ячейки, маленький — 102.

в) Пусть $k\geqslant8$, то есть $k=p+8$, $p\geqslant0$. Большие кляссеры дают $1195+150p<S<1275+160p$, маленькие — $995+100p<S<1195+120p$. Получаем $1195+150p<S<1195+120p$, откуда $p<0$, противоречие. Значит, $k\leqslant7$.

При $k=7$ получаем $1045<S<1115$ и $895<S<1075$, то есть $1046\leqslant S\leqslant1074$. Число $S+5$ должно делиться на 7 и на 9. Наибольшее такое число в $[1051;1079]$ — 1071. Значит, $S=1066$, большой кляссер содержит 153 ячейки, маленький — 119. При $k\leqslant6$ число монет меньше $160\cdot6-5=955$, поэтому найденное значение максимально.

Ответ: а) нет; б) 607; в) 1066