ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ — точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=7$, $BC=8$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$$f(x) = 3|x + a| + |x^2 - x - 2|$$

меньше $2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$$f(x) = x - 2|x| + |x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 2a|$$

больше $-4$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$$f(x) = ax - 2a - 1 + |x^2 - x - 2|$$

меньше $-2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} ((x + 5)^2 + y^2 - a^2) \cdot \ln(9 - x^2 - y^2) = 0, \\ ((x + 5)^2 + y^2 - a^2) \cdot (x + y - a + 5) = 0 \end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (x^2 + y^2 + 6x) \cdot \ln\left(\dfrac{3x + 4y + a}{20}\right) = 0, \\ (x^2 + y^2 + 6x)(x^2 + y^2 - 12x) = 0 \end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка $[23; 84]$. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.

а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?

б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?

в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй — по 200 г, третий — по 300 г, четвёртый — по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.

а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?

б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?

в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырём кроликам и все кролики получили разное количество корма?