3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
9 заданий
из 3 021Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность проходит через точки $B$ и $C$ и пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$, отличных от концов отрезков соответственно.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $PM$, если отрезки $AQ$ и $BQ$ перпендикулярны, $AB=15$, $BC=1$, $CD=17$, $AD=9$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции
$$f(x)=|x^{2}+2x-3|+4|x-a|$$
не больше 3.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции
$$f(x)=x-2|x|+|x^{2}-2(a+1)x+a^{2}+a|$$
больше $-4$.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции
$$f(x)=ax-a-1+|x^{2}-4x+3|$$
меньше $-2$.
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество $\{200; 201; 202; \dots; 299\}$ хорошим?
б) Является ли множество $\{2; 4; 8; \dots; 2^{10}\}$ хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества $\{1; 2; 4; 5; 7; 9; 11\}$?
Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася.
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трёх дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300?
Это все задания в выборке — 9.