3 021 задание из проверенных источников с проверкой ответа.
19 заданий
из 3 021В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=BC$ и $CN=AC$. Отрезки $CP$ и $CQ$ — биссектрисы треугольников $ACB$ и $MCN$ соответственно.
а) Докажите, что $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Найдите $PQ$, если $BC=3$, а $AC=5$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$.
б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=6\sqrt{3}$, $\angle ABC=45^\circ$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{9x^2 - a^2}{3x - 9 - 2a} = 0$$
имеет ровно два различных решения.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{x^2 - 4x + a}{5x^2 - 6ax + a^2} = 0$$
имеет ровно два различных решения.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{2a - x^2 + 3x}{x - a^2} = 0$$
имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{x^2 - 6x + a^2 + 2a}{2x^2 - ax - a^2} = 0$$
имеет ровно два различных решения.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{x^2 - 2x + a^2 - 6a}{x^2 + x - a} = 0$$
имеет ровно два различных решения.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\dfrac{x^2 + 2x - a}{x^2 - 2x + a^2 - 8a} = 0$$
имеет ровно два различных решения.
При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$\dfrac{x^2 - 2x + a^2 - 4a}{x^2 - a} = 0$$
имеет ровно 2 различных решения.
Это все задания в выборке — 19.