Задание 3 №419 — ЕГЭ по профильной математике

Новое ребро $a+1$, новый объём $(a+1)^3$. По условию $(a+1)^3-a^3=19$. Раскрываем $(a+1)^3=a^3+3a^2+3a+1$:

$3a^2+3a+1=19\Rightarrow3a^2+3a-18=0\Rightarrow a^2+a-6=0$. Корни $2$ и $-3$ (по теореме Виета $2+(-3)=-1$, $2\cdot(-3)=-6$); ребро положительно, значит $a=2$.

Ответ: 2.