Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых множеством решений неравенства
$$\dfrac{x-5}{ax^2-\left(a^2+4\right)x+4a}\geqslant 0$$
является луч.
Решение
Разложим знаменатель левой части неравенства на множители:
$$\dfrac{x-5}{(ax-4)(x-a)}\geqslant 0.$$
Знаменатель обращается в ноль при $x=a$ и $x=\dfrac{4}{a}$. Числитель обращается в 0 при $x=5$.
Если числа 5, $a$ и $\dfrac{4}{a}$ попарно различны, то решение состоит из двух непересекающихся промежутков. Чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трёх чисел 5, $a$ и $\dfrac{4}{a}$ какие-то два совпали.
1) Если $a=5$ или $\dfrac{4}{a}=5$, то множеством решений является объединение двух промежутков $\left(\dfrac{4}{5};\,5\right)$ и $(5;\,+\infty)$.
2) Если $a=\dfrac{4}{a}$, то $a=2$. В этом случае множеством решений неравенства является луч $(5;\,+\infty)$.
Ответ: $a=2$.