Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и делит его в отношении $AM:MA_1=2:1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $B_1$, $D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$.
а) Докажите, что точка $P$ — середина $FF_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=2$, $AA_1=8$.
Решение
а) Плоскость $\alpha$ пересекает параллельные плоскости $ABB_1$, $EDD_1$ и $CFF_1$ по параллельным прямым, поэтому $B_1M\parallel D_1N\parallel K_1P$, где $N$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $EE_1$, $K_1$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с прямой $C_1F_1$.
Плоскость $\alpha$ пересекает параллельные плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по параллельным прямым, поэтому $B_1D_1\parallel XY$, где $X$ — точка пересечения $B_1M$ и $AB$, а $Y$ — точка пересечения $D_1N$ и $DE$. Пусть $AB=a$. Треугольники $A_1B_1M$ и $AXM$ подобны с коэффициентом $A_1M:MA=1:2$, поэтому $AX=2A_1B_1=2a$. Треугольник $EYN$ равен треугольнику $AXM$, поэтому $EY=AX=2a$.
Пусть $T$ — точка пересечения прямых $K_1P$ и $XY$. Из подобия треугольников $PF_1K_1$ и $PFT$ получаем, что $\dfrac{FP}{PF_1}=\dfrac{FT}{F_1K_1}$.
Найдём эти отрезки:
$K_1F_1=C_1F_1-C_1K_1=2a-0{,}5a=1{,}5a$,
$TF=TK-KF=YD-K_1F_1=YE+ED-1{,}5a=2a+a-1{,}5a=1{,}5a$.
Таким образом, $\dfrac{FP}{PF_1}=\dfrac{TF}{F_1K_1}=1:1$.
б) Сечением призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$ является пятиугольник $MB_1D_1NP$. Так как пятиугольник $FABDE$ — это проекция пятиугольника $MB_1D_1NP$ на плоскость $ABC$, а угол $D_1YD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$, то $S_{MB_1D_1NP}=S_{FABDE}:\cos\angle D_1YD$.
$$S_{FABDE}=S_{ABCDEF}-S_{BCD}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{5\sqrt{3}a^2}{4}=5\sqrt{3}.$$
Из треугольника $D_1YD$ находим, что $\cos\angle D_1YD=\dfrac{DY}{D_1Y}=\dfrac{6}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{3}{5}$.
Таким образом, $S_{MB_1D_1NP}=5\sqrt{3}:\dfrac{3}{5}=\dfrac{25\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: б) $\dfrac{25\sqrt{3}}{3}$