В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $AA_1$ отмечена точка $K$, причём $AK:KA_1 = 1:3$. Через точки $K$ и $B$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $AC$ и пересекающая ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $DD_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$, если $AB = 5$, $AA_1 = 4$.
Та же задача с другими данными. Всего 6.
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ делит боковое ребро $AA_1$ в отношении $AK:KA_1 = 1:2$. Через точки $B$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $AC$ и пересекающая ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $DD_1$ в отношении $DM:MD_1 = 2:1$.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что $AB = 4$, $AA_1 = 6$.
Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и делит его в отношении $AM:MA_1=2:1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $B_1$, $D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$.
а) Докажите, что точка $P$ — середина $FF_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=2$, $AA_1=8$.
Точка $M$ — середина ребра $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $B_1$, $D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$.
а) Докажите, что $FP:PF_1=1:3$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=3$, $AA_1=8$.
Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и делит его в отношении $AM:MA_1=3:1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $B_1$, $D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$.
а) Докажите, что точка $P$ делит ребро $FF_1$ в отношении $FP:PF_1=5:3$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=3$, $AA_1=9$.
Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и делит его в отношении $AM:MA_1=4:1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $B_1$, $D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$.
а) Докажите, что точка $P$ делит ребро $FF_1$ в отношении $FP:PF_1=7:3$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=2$, $AA_1=\sqrt{21}$.
Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и делит его в отношении $AM:MA_1=3:4$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $B_1$, $D_1$ и пересекает ребро $FF_1$ в точке $P$.
а) Докажите, что точка $P$ делит ребро $FF_1$ в отношении $FP:PF_1=1:6$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=4$, $AA_1=\sqrt{15}$.