Задание 20 №3910 — ЕГЭ по профильной математике

Обозначим арифметическую прогрессию $a_1,\,a_2,\,a_3,\,\ldots$. Тогда

$$a_n=a_1+(n-1)d,$$

где разность $d$ — натуральное число.

а) Да, например, при $a_1=3$ и $d=2$. Покажем, как найти этот пример. Преобразуем разность $S_4-S_3$:

$$S_4-S_3=a_4\left(a_1+a_2+a_3\right)=\left(a_1+3d\right)\left(3a_1+3d\right).$$

Пусть

$$\left(a_1+3d\right)\left(3a_1+3d\right)=105;\quad \left(a_1+3d\right)\left(a_1+d\right)=35.$$

Положим $a_1+3d=7$ и $a_1+d=5$. Получим решение $a_1=4$, $d=1$.

б) Преобразуем разность $S_{n+2}-S_n$:

$$S_{n+2}-S_n=\left(a_{n+1}+a_{n+2}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_n\right)+a_{n+1}a_{n+2}.$$

Нужно решить уравнение

$$\left(a_{18}+a_{19}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_{17}\right)+a_{18}\cdot a_{19}=6932.$$

Выражение

$$\left(a_{18}+a_{19}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_{17}\right)+a_{18}\cdot a_{19}$$

принимает наименьшее возможное значение для арифметической прогрессии 1, 2, 3, …, то есть для $a_k=k$. Оно равно

$$\left(a_{18}+a_{19}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_{17}\right)+a_{18}\cdot a_{19}=(18+19)\cdot(1+\ldots+17)+18\cdot 19=6003 \lt 6932.$$

Следующее по величине значение выражение

$$\left(a_{18}+a_{19}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_{17}\right)+a_{18}\cdot a_{19}$$

принимает при $a_k=k+1$:

$$\left(a_{18}+a_{19}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_{17}\right)+a_{18}\cdot a_{19}=(19+20)\cdot(2+\ldots+18)+19\cdot 20=7010 \gt 6932.$$

Значит, равенство $S_{19}=S_{17}+6932$ выполняться не может.

в) Если $d \gt 1$, то выражение $\left(a_{n+1}+a_{n+2}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_n\right)+a_{n+1}\cdot a_{n+2}$ больше 6932 для всех $n\geqslant 12$. Действительно, в этом случае $a_k\geqslant 2k-1$, и

$$\begin{aligned}&\left(a_{n+1}+a_{n+2}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_n\right)+a_{n+1}a_{n+2}\geqslant 4(n+1)\cdot n^2+(2n+1)\cdot(2n+3)\geqslant\\ &\geqslant 4(n+1)\cdot n^2+(2n+1)\cdot(2n+3)\geqslant 8163 \gt 6932.\end{aligned}$$

Поэтому при $n\geqslant 12$ получаем, что $d=1$, и равенство

$$\left(a_{n+1}+a_{n+2}\right)\cdot\left(a_1+\ldots+a_n\right)+a_{n+1}a_{n+2}=6932$$

принимает вид

$$\left(2a_1+2n+1\right)\cdot\dfrac{2a_1+(n-1)}{2}\cdot n+\left(a_1+n\right)\left(a_1+n+1\right)=6932;$$

$$(2n+1)a_1^2+\left(3n^2+2n+1\right)a_1+\dfrac{2n^3+n^2+n}{2}=6932.$$

Решая задание (б), мы видели, что $n\leqslant 16$.

При $n=16$ получаем уравнение:

$$33a_1^2+801a_1+4232=6932,\ \text{откуда}\ 11a_1^2+267a_1=900.$$

Уравнению удовлетворяет $a_1=3$.

Ответ: а) да; б) нет; в) 16.