На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ с внешней стороны построены квадраты $AKLC$ и $BPQC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$.
а) Докажите, что $LQ=2CM$.
б) Найдите расстояние от точки $M$ до центра квадрата $AKLC$, если $AC=14$, $BC=16$ и $\angle ACB=150^{\circ}$.
Решение
а) На продолжении медианы $CM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD=CM$.
Тогда $ACBD$ — параллелограмм. Так как углы $ACL$ и $BCQ$ прямые, находим
$$\angle LCQ=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-\angle ACB=\angle CAD.$$
Кроме того, $CL=CA$ и $CQ=CB=AD$. Следовательно, треугольники $CAD$ и $LCQ$ равны по двум сторонам и углу $\angle LCQ=\angle CAD$ между ними. Поэтому $LQ=CD=2CM$, ч. т. д.
б) Пусть $O_1$ — центр квадрата $AKLC$. Отрезок $O_1M$ — средняя линия в треугольнике $ABL$, поэтому он вдвое меньше отрезка $BL$.
В треугольнике $BCL$ $BC=16$, $CL=AC=14$,
$$\angle BCL=360^{\circ}-\angle ACB-\angle ACL=360^{\circ}-150^{\circ}-90^{\circ}=120^{\circ}.$$
По теореме косинусов
$$BL^2=BC^2+CL^2-2\cdot BC\cdot CL\cdot\cos 120^{\circ}=16^2+14^2+16\cdot 14=26^2,$$
$BL=26$, $O_1M=\dfrac{1}{2}BL=13$.
Ответ: б) 13.