В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=3$ и диагональю $BD=5$. Все боковые рёбра пирамиды равны 3. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=2$.
а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.
Решение
а) Пусть прямая $CE$ пересекает ребро $AB$ в точке $K$, а продолжение ребра $DA$ — в точке $T$. Точка $K$ — точка, в которой плоскость $CEF$ пересекает ребро $AB$. По условию $BD=5$, $BE=2$.
Из подобия треугольников $DET$ и $BEC$ находим:
$$DT:BC=DE:EB=3:2,\quad DT=\dfrac{3}{2}AD=6,\quad AT=\dfrac{1}{2}AD=2.$$
Из подобия треугольников $AKT$ и $BKC$ находим:
$$AK:KB=AT:BC=1:2,\quad AK=\dfrac{1}{3}AB=1.$$
Таким образом, в треугольниках $ASB$ и $AFK$ $AS=SB=3$, $AF=AK=1$, значит, эти треугольники подобны, и $FK\parallel SB$.
Прямая $SB$ параллельна прямой $FK$, лежащей в плоскости $CEF$, поэтому она параллельна этой плоскости.
б) Пусть $O$ — центр основания пирамиды. Так как все боковые рёбра равны, высота пирамиды падает в точку $O$. Так как $OB=\dfrac{5}{2}$, по теореме Пифагора $SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}$.
Прямая $QE$ — это прямая пересечения плоскостей $BSD$ и $CEF$.
Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $Q$ на плоскость $ABC$. Из пункта а) следует, что прямые $QE$ и $SB$ параллельны. Поэтому треугольники $DSB$ и $DQE$ подобны, и $QH:SO=DE:DB=3:5$.
Отсюда находим: $QH=\dfrac{3}{5}\cdot SO=\dfrac{3\sqrt{11}}{10}$.
Ответ: б) $\dfrac{3\sqrt{11}}{10}$