Задание 16 №2312 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$x\neq-1$. Замена $t=2^x>0$ ($0{,}5^{2x+3}=2^{-2x-3}=\dfrac1{8t^2}$): числитель $2t^2-\dfrac{96}{8t^2}+2=2t^2-\dfrac{12}{t^2}+2$; умножая на $t^2>0$, множитель пропорционален $t^4+t^2-6=(t^2-2)(t^2+3)$.

$t^2+3>0$ всегда, значит знак числителя совпадает со знаком $t^2-2$, то есть

$4^x-2\ge0$

$2^{2x}\ge2^1$

$x\ge0{,}5$.

Как и в аналогичной задаче: дробь $\le0$ равносильна (числитель $\le0$ и $x+1>0$) — случай (числитель $\ge0$, $x+1<0$) невозможен. Получаем $x\le0{,}5$ и $x>-1$.

Ответ: $x\in(-1;0{,}5]$.