Решите неравенство $\frac{5^{2x + 1} - 75 \cdot 0{,}2^{2x} - 10}{x + 2} \le 0$
Решение
ОДЗ:
$x\neq-2$. Замена $t=5^x>0$ ($0{,}2^{2x}=5^{-2x}=1/t^2$): числитель $5t^2-\dfrac{75}{t^2}-10$; умножая на $t^2>0$ (знак не меняется), получаем множитель, пропорциональный $t^4-2t^2-15=(t^2-5)(t^2+3)$.
$t^2+3>0$ всегда, значит знак числителя совпадает со знаком $t^2-5$, то есть
$25^x-5\ge0$
$5^{2x}\ge5^1$
$x\ge0{,}5$.
Дробь $\dfrac{\text{числитель}}{x+2}\le0$ равносильна: (числитель $\ge0$ и $x+2<0$) или (числитель $\le0$ и $x+2>0$). Первый случай ($x\ge0{,}5$ и $x<-2$) невозможен; второй даёт $x\le0{,}5$ и $x>-2$.
Ответ: $x\in(-2;0{,}5]$.