Задание 16 №2270 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$2x^2-9x+9>0$ (дискриминант $9$, корни $1{,}5$ и $3$, значит $x<1{,}5$ или $x>3$), $x+8>0$, $\log_3(x+8)\neq0$ (то есть $x\neq-7$).

Дробь $\dfrac{N}{D}\ge0$ ($N=1-\log_2(2x^2-9x+9)$, $D=\log_3(x+8)$) равносильна объединению систем $\{N\ge0,\ D>0\}$ и $\{N\le0,\ D<0\}$.

$N\ge0$

$2x^2-9x+9\le2$

$2x^2-9x+7\le0$

$(2x-7)(x-1)\le0$

$1\le x\le3{,}5$

на ОДЗ ($x<1{,}5$ или $x>3$) это даёт $[1;1{,}5)\cup(3;3{,}5]$.

$D>0$

$x+8>1$

$x>-7$ — выполняется всегда на этом множестве.

$N\le0$

$x\le1$ или $x\ge3{,}5$; на ОДЗ это $x\le1$ (входит в $x<1{,}5$) или $x\ge3{,}5$ (входит в $x>3$). $D<0$

$-8<x+8<1$... то есть $-8<x<-7$; пересекая с $x\le1$ или $x\ge3{,}5$, получаем $(-8;-7)$.

Объединяем все части.

Ответ: $x\in(-8;-7)\cup[1;1{,}5)\cup(3;3{,}5]$.