Задание 16 №2266 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$\dfrac1x>0$ (то есть $x>0$) и $x^2+3x-9>0$ (корни $\dfrac{-3\pm3\sqrt5}2$), при $x>0$ это означает $x>\dfrac{3\sqrt5-3}2\approx1{,}85$.

Неравенство равносильно $\dfrac1x(x^2+3x-9)\le x^2+3x+\dfrac1x-10$. Умножаем на $x>0$ и переносим:

$x^3+3x^2-9x-9x-3x^2+10x\ge... $ после приведения подобных:

$-x^3-2x^2+13x-10x\ge0$, то есть после упрощения $x^3+2x^2-13x+10\le0$... умножим неравенство целиком на $-1$ сразу из разности:

$(x-2)(x-1)(x+5)\ge0$.

Знаки $-,+,-,+$ на $(-\infty;-5)$, $(-5;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty)$ (при $x>0$ рассматриваем $(0;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty)$) — решение при $x>0$:

$[1;2]\cup[2;+\infty)$, то есть $x\le1$ или $x\ge2$ (внутри $x>0$).

Пересекаем с ОДЗ $x>\dfrac{3\sqrt5-3}2\approx1{,}85$: условие $x\le1$ отпадает, остаётся $x\ge2$ целиком (так как $2>1{,}85$).

Ответ: $x\in[2;+\infty)$.