Задание 16 №2265 — ЕГЭ по профильной математике

ОДЗ:

$\dfrac3x>0$ (то есть $x>0$) и $x^2-7x+11>0$ (дискриминант $5$, корни $\dfrac{7\pm\sqrt5}2$), то есть $0<x<\dfrac{7-\sqrt5}2$ или $x>\dfrac{7+\sqrt5}2$.

Неравенство $\log_7\dfrac3x+\log_7(x^2-7x+11)\le\log_7\left(x^2-7x+\dfrac3x+10\right)$ равносильно $\dfrac3x(x^2-7x+11)\le x^2-7x+\dfrac3x+10$ (левый аргумент уже положителен по ОДЗ, что и требуется для равносильности «$\le$»).

Переносим влево и умножаем на $x>0$:

$3(x^2-7x+11)-x^3+7x^2-10x-3\le0 \cdot x$... после умножения на $x$ и приведения подобных получаем $-x^3+10x^2-31x+30\le0$

$x^3-10x^2+31x-30\ge0$.

  -       +       -       +  
 ──────●───────●───────●──────▸
       2       3       5      

$x^3-10x^2+31x-30=(x-2)(x-3)(x-5)$. Решение (при $x>0$):

$[2;3]\cup[5;+\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ:

$[2;3]\cap\left(0;\dfrac{7-\sqrt5}2\right)=\left[2;\dfrac{7-\sqrt5}2\right)$ (так как $\frac{7-\sqrt5}2\approx2{,}38<3$); $[5;+\infty)$ целиком входит в $x>\dfrac{7+\sqrt5}2\approx4{,}62$.

Ответ: $x\in\left[2;\dfrac{7-\sqrt5}2\right)\cup[5;+\infty)$.